Números Naturales: la Multiplicación

La multiplicación de dos números naturales consiste en la suma de uno de los factores (a) consigo mismo tantas veces como indica el otro factor (b).
Así como, "2 · 5" o "5 · 2" consiste en sumar 5 dos veces (5+5) o en sumar 2 cinco veces (2+2+2+2+2).

a · b = c

Tenemos que:

• "a" y "b" se denominan factores.
• El resultado (c) se denomina producto.

Las propiedades de la multiplicación son:

1. Operación interna: el resultado (c) de multiplicar dos números naturales (a·b) es otro número natural.
2. Asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado.
   (a · b) · c = a · (b · c)(1 · 2) · 3 = 1 · (2 · 3) --> 2 · 3 = 1 · 6 --> 6 = 6
   Es lo mismo, primero sumar 1 dos veces (1+1=2) y luego esa suma, sumarla a sí misma tres veces más (2+2+2=6); que primero sumar 2 tres veces (2+2+2=6) y luego esa suma, multiplicarla por 1 (que sería el mismo resultado de la suma, ya que el 1 es un elemento neutro, más adelante lo vemos).
3. Conmutativa: el orden de los factores no varía el producto.
   a · b = b · a
   2 · 3 = 3 · 2 --> 6 = 6
   Es lo mismo sumar 2 tres veces (2+2+2), que sumar 3 dos veces (3+3).
4. Elemento neutro: El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que todo número multiplicado por 1 da el mismo numero.
   a · 1 = 1 · a = a
   2 · 1 = 1 · 2 = 2
5. Distributiva: la multiplicación de un número natural por una suma, es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.
   a · (b + c) = a · b + a · c
   2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 --> 2 · 7 = 6 + 8 --> 14 = 14
   Es lo mismo, hacer primero la suma (3+4=7) y luego sumar esta suma dos veces más (7+7=14); que sumar 2 tres veces (2+2+2=6), sumar 2 cuatro veces (2+2+2+2=8) y luego sumar ambas sumas (6+8=14).
6. Sacar factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común (es decir, estan multiplicados por un mismo número), podemos transformar la suma en producto extrayendo este factor.
   a · b + a · c = a · (b + c) --> el factor común es "a"
   2 · 3 + 2 · 4 = 2 · (3 + 4) --> en este caso, el factor común es el 2, ya que es el número que sumamos por sí mismo pero distintas veces.