Números Naturales: las Divisiones

D : d = c

Tenemos que:

• "D" es el dividendo.
• "d" es el divisor.
• El resultado (c) es el cociente.

Hay dos tipos de divisiones:

• La división exacta, que es cuando el resto (r) es 0.
  D = d · c
  6 = 2 · 3 --> Cuando dividimos 6 manzanas entre 2 personas, caben a 3 manzanas por personas y no nos sobra ninguna.
• La división entera, que es cuando el resto (r) es distinto de 0, ya que no hay dos números naturales que al multiplicarse den ese número natural. Por lo tanto hay que sumarle otro, como es en el caso del siguiente ejemplo.
  D = d · c + r
  7 = 2 · 3 + 1 --> Cuando intentamos dividir 7 manzanas entre 2 personas caben 3 manzanas por persona, pero nos sobra 1.

Las propiedades de la división son:

1. No es una operación interna, por lo que al dividir dos número naturales no siempre el resultado va a ser otro número natural. Solo será otro número natural si el dividendo (D) es mayor que el divisor (d).
2. No es conmutativa, por lo que el resultado varía si el orden del dividendo (D) y divisor (d) se cambian.
   Así que no es lo mismo, 2:4 que 4:2.
3. El numero que anula. Dividir 0 entre cualquier número da 0.
   0 : a = 0
   0 : 2 = 0 --> Si no tenemos nada que repartir entre 2 personas, nadie recibe nada.
4. No se puede dividir por 0.
   Ya que si no tenemos a cuantas personas repartirle unas manzanas, no se pueden repartir.

Números Naturales: la Multiplicación

La multiplicación de dos números naturales consiste en la suma de uno de los factores (a) consigo mismo tantas veces como indica el otro factor (b).
Así como, "2 · 5" o "5 · 2" consiste en sumar 5 dos veces (5+5) o en sumar 2 cinco veces (2+2+2+2+2).

a · b = c

Tenemos que:

• "a" y "b" se denominan factores.
• El resultado (c) se denomina producto.

Las propiedades de la multiplicación son:

1. Operación interna: el resultado (c) de multiplicar dos números naturales (a·b) es otro número natural.
2. Asociativa: el modo de agrupar los factores no varía el resultado.
   (a · b) · c = a · (b · c)(1 · 2) · 3 = 1 · (2 · 3) --> 2 · 3 = 1 · 6 --> 6 = 6
   Es lo mismo, primero sumar 1 dos veces (1+1=2) y luego esa suma, sumarla a sí misma tres veces más (2+2+2=6); que primero sumar 2 tres veces (2+2+2=6) y luego esa suma, multiplicarla por 1 (que sería el mismo resultado de la suma, ya que el 1 es un elemento neutro, más adelante lo vemos).
3. Conmutativa: el orden de los factores no varía el producto.
   a · b = b · a
   2 · 3 = 3 · 2 --> 6 = 6
   Es lo mismo sumar 2 tres veces (2+2+2), que sumar 3 dos veces (3+3).
4. Elemento neutro: El elemento neutro de la multiplicación es el 1, ya que todo número multiplicado por 1 da el mismo numero.
   a · 1 = 1 · a = a
   2 · 1 = 1 · 2 = 2
5. Distributiva: la multiplicación de un número natural por una suma, es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.
   a · (b + c) = a · b + a · c
   2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4 --> 2 · 7 = 6 + 8 --> 14 = 14
   Es lo mismo, hacer primero la suma (3+4=7) y luego sumar esta suma dos veces más (7+7=14); que sumar 2 tres veces (2+2+2=6), sumar 2 cuatro veces (2+2+2+2=8) y luego sumar ambas sumas (6+8=14).
6. Sacar factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor común (es decir, estan multiplicados por un mismo número), podemos transformar la suma en producto extrayendo este factor.
   a · b + a · c = a · (b + c) --> el factor común es "a"
   2 · 3 + 2 · 4 = 2 · (3 + 4) --> en este caso, el factor común es el 2, ya que es el número que sumamos por sí mismo pero distintas veces.

Números Naturales: la Resta

a - b = c

Tenemos que:

• "a" es el minuendo, el que número o la cantidad que reducimos.
• "b" es el sustraendo, el número o la cantidad que nos indica cuánto reducimos el minuendo.
• El resultado (c), es la diferencia de la resta (a-b).

Las propiedades de la resta son:

1. Operación no interna: el resultado (c) de restar dos números naturales no siempre es otro número natural. Sólo será así si el minuendo (a) es mayor que el sustraendo (b).
2. No es conmutativa: el orden del minuendo y del sustraendo hace varíar la diferencia.
   (a - b) es distinto de (b - a)
   2 - 1 = 1 --> Si vas a una tienda y ves 2 manzanas y te compras 1, al final en la tienda queda 1.
   1 - 2 = -1 --> Si vas a una tienda y pides 2 manzanas, pero pagas 1, te queda por pagar 1 manzana.

Números Naturales: la Suma

a + b = c

Tenemos que:

• "a" y "b" son los sumandos.
• El resultado, "c", es la suma.

Las propiedades de la suma son:

1. Operación interna: el resultado (c) de sumar dos numeros naturales (a+b) es otro número natural.
2. Conmutativa: el orden de los sumandos no varía la suma. 
   a + b = b + a
   1 + 2 = 2 + 1 = 3 --> Si tengo 1 manzana y me dan 2 manzanas, después tendré lo mismo que si tuviese 2 manzanas y luego me diesen una.
3. Asociativa: el modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. 
   (a + b) + c = a + (b + c)
   (1 + 2) + 3 =1 + (2 + 3) = 6 --> Esto es como si primero tuviese 1 manzana y luego me diesen 2, y después decidiese comprar 3 más. Al final tendré lo mismo que si primero me diesen dos manzanas y comprara otras 3 y cogiese otra que tenía guardada en casa.
4. Elemento neutro: el elemento neutro de la suma es el 0. Ya que todo número natural que sumemos con él, será el mismo número.
   a + 0 = a
   1 + 0 = 1 --> Si tengo una manzana y no me dan ninguna, pues sigo teniendo una.

Números Naturales

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Las funciones de los números naturales son:

1. Contar cuantos elementos hay en un conjunto (números cardinales), como cuantos peces hay en un acuario.
2. Expresa la posición o el orden que ocupa un elemento dentro de un conjunto (números ordinales), como el puesto en el que salen o quedan los vehículos en una carrera.
3. Identificar y diferenciar los elementos de un conjunto, como el número de socio de un club.

Al estar los números naturales ordenados, podemoos comparar los números naturales entre ellos, como por ejemplo 7 es mayor de 2 y 2 es menor que 7, y así realizar distintas operaciones que veremos a continuación.
Los números naturales son infinitos y son correlativos, es decir, le sumamos 1 y tenemos otro número natural.
Estos números se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor sobre una recta, que empieza en 0 y luego contamos hasta la derecha.

0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 - . . .